ตราส่วนตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ซึ่งเป็นเนื้อหาที่สำคัญและมีประโยชน์มากในทางคณิตศาสตร์ และฟิสิกส์
โดยเป็นเรื่องที่ว่าด้วยอัตราส่วนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีอัตราส่วนต่าง ๆ ดังนี้
sin(A) = ข้าม / ฉาก
cos(A) = ชิด / ฉาก
tan(A) = ข้าม / ชิด
cosec(A) = ฉาก / ข้าม
sec(A) = ฉาก / ชิด
cot(A) = ชิด / ข้าม
การหาค่าตรีโกณมิติโดยใช้เทคนิค ” มือ “
การหาค่าตรีโกณมิติ โดยใช้เทคนิคมือนั้นเป็นเทคนิคที่สามารถใช้ได้ง่ายทุกสถานการณ์ โ
ดยต้องอาศัยความเข้าใจไม่ต้องเสียเวลานั่งท่องจำมาก มาดูกันเลยว่าทำอย่างไรบ้าง
- ขั้นตอนแรก ให้เราจินตนาการตามรูป ว่านิ้วแต่ละนิ้วของเราเปรียบเสมือนค่ามุมต่าง
- ๆ ในตรีโกณมิติ ได้แก่ 0 , 30 , 45 , 60 และ 90
- ถ้าต้องการหาค่าตรีโกณมิติที่มุมเท่าไหร่ให้หักนิ้วนั้นลง
- อัตราส่วนที่ได้จะเป็นดังนั้น
- sin จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
- cos จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ โดยเริ่มจากนิ้วที่หัก ส่วนด้วย 2
- tan จะเท่ากับ สแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านซ้ายมือ ส่วนด้วยสแควรูท จำนวนนิ้วที่มีด้านขวามือ
ตัวอย่าง ถ้าเราต้องการ หาค่าตรีโกณมิติ ที่มุม 60 องศา
วิธีทำ ให้เราใช้มือขวา หักนิ้วชี้ลง จะพบว่า จะเหลือนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว ( นิ้วก้อย , นาง , กลาง )
และจะเหลือนิ้วด้านซ้าย 1 นิ้ว ( นิ้วโป้ง )
เราสามารถหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติได้ ดังนี้
- sin มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว จึงได้ค่า sin 60 = √3/2
- cos มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า cos 60 = 1/2
- tan มีจำนวนนิ้วด้านซ้าย 3 นิ้ว และ มีจำนวนนิ้วด้านขวา 1 นิ้ว จึงได้ค่า tan 60 = √3/1 หรือ tan 60 = √3
ค่าตรีโกณมิติที่ควรทราบ
หัวข้อที่แล้ว เราได้เรียนรู้หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยวิธีมือแล้ว
คราวนี้เรามาดูตารางสรุปกันดีกว่าว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐานที่เราควรทราบมีอะไรบ้าง
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
Sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
Cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
Tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | หาค่าไม่ได้ |
สมบัติต่าง ๆ ที่ควรทราบเกี่ยวกับตรีโกณมิติ
โดยจะนำมาเฉพาะที่ใช้ใน ตรีโกณ ม.3 เท่านั้น ถ้าน้อง ๆ คนไหนเรียนเกินหลักสูตรหรือต้องกา
รเนื้อหาเพิ่มเติมสามารถไปดูบทความ ตรีโกณมิติ ตัวเต็มได้
- sin2θ + cos2θ = 1
- tan2θ + 1 = sec2θ
- cot2θ + 1 = cosec2θ
- sin(A) = 1/cosec(A) และ cosec(A) = 1/sin(A)
- cos(A) = 1/sec(A) และ sec(A) = 1/cos(A)
- tan(A) = 1/cot(A) = sin(A)/cos(A) และ cot(A)=1/tan(A) = cos(A)/sin(A)
กฎของ SIN และ กฎของ COS
กฎของ sin และ กฎของ cos เป็นหัวข้อการประยุกต์ที่ถูกใช้เป็นประจำ
ในการหาความยาวด้านและมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ โดยใช้ความรู้ของตรีโกณมิติ
แต่อย่าจำสับสน ตรีโกณมิติ อยู่บนพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
แต่ในหัวข้อนี้นำเข้ามาประยุกต์กับสามเหลี่ยมใด ๆ เท่านั้น
กฎของ SIN
a/sinA = b/sinB = c / sinC
โดยกำหนดให้
a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ
A , B , C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
กฎของ COS
a2 = b2 + c2 – 2bc(cosA)
b2 = a2 + c2 – 2ac(cosB)
c2 = a2 + b2 – 2ab(cosC)
โดยกำหนดให้
a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ
A , B ,C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
